Russian Journal of Earth Sciences Russian Journal of Earth Sciences Russian Journal of Earth Sciences 1681-1208 49571 10.2205/2026ES001087 urqewy ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ ORIGINAL ARTICLES ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ Mathematical Technology for Estimating Parametric Functions of Non-Stationary Geophysical Signals Математическая технология оценивания параметрических функций нестационарных геофизических сигналов Гетманов Виктор Григорьевич Getmanov Viktor Grigoryevich vgetm2015@yandex.ru

доктор технических наук;

doctor of technical sciences;

 https://orcid.org/0000-0003-3056-7465 Пилипенко Вячеслав Анатольевич Pilipenko Vyacheslav Anatolievich space.soliton@gmail.com

доктор физико-математических наук;

doctor of physical and mathematical sciences;

 Геофизический центр РАН Москва Россия Geophysical Center of RAS Moscow Russian Federation Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН Москва Россия Schmidt Institute of Physics of the Earth, RAS Moscow Russian Federation Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН Москва Россия Schmidt Institute of Physics of the Earth RAS Moscow Russian Federation Геофизический центр РАН Москва Россия Geophysical Center RAS Moscow Russian Federation Институт космических исследований Москва Россия Space Research Institute Moscow Russian Federation 07 04 2026 07 04 2026 26 1 ES1013 26 08 2025 18 11 2025 https://rjes.ru/en/nauka/article/49571/view

Разработана математическая технология цифровой обработки геофизических сигналов для оценивания нестационарных параметрических функций. Использовались двухэтапные аппроксимации c локальными моделями на первом и моделями взвешенных аппроксимационных усреднений на втором этапе. Сформированы алгоритмы вычислений оценок параметрических амплитудных и частотных функций, функций инкрементов/декрементов и частотных дисперсий. Предложены формулы погрешностей для оценок параметрических функций пульсаций. Реализованы примеры применения технологии для модельных и экспериментальных наблюдений. Продемонстрированы возможности технологии, позволяющие вычислить оценки функций частоты и функций производной частоты для геомагнитных пульсаций типа «жемчужины».

A mathematical technology for digital processing of geophysical signals has been developed for estimating non-stationary parametric functions. Two-stage approximations with local models in the first stage and weighted approximation averaging models in the second stage were used. Algorithms for calculating estimates of parametric amplitude and frequency functions, increment/decrement functions, and frequency dispersions have been developed. Error formulas for estimating parametric pulsation functions have been proposed. Examples of applying the technology to model and experimental observations have been implemented. The technology's capabilities are demonstrated, allowing for the calculation of frequency function estimates and frequency derivative functions for geomagnetic pulsations of the “pearl” type.

 геофизические сигналы геомагнитные пульсации нестационарные параметры двухэтапная аппроксимация локальные аппроксимации взвешенное усреднение Geophysical signals geomagnetic pulsations non-stationary parameters two-stage approximation local approximations weighted averaging Работа выполнена в рамках государственного задания Геофизического центра Российской академии наук и Института физики Земли им. О. Ю. Шмидта Российской академии наук, утверждённого Минобрнауки России. This work was carried out within the framework of a state assignment from the Geophysical Center of the Russian Academy of Sciences and the Schmidt Institute of Physics of the Earth of the Russian Academy of Sciences, approved by the Ministry of Education and Science of Russia.

Алешкевич В. А. Курс общей физики. Оптика. — М. : Физматлит, 2011. — 320 с. Afanasyev A. A., Rybolovlev A. A. and Ryzhkov A. P. Digital Signal Processing. — M. : Goryachaya Liniya-Telekom, 2019. — 356 p. — (In Russian). Аникеев Д. А., Пенкин Г. О. и Стрижов В. В. Классификация физической активности человека с помощью локальных аппроксимирующих моделей // Информатика и её применения. — 2019. — Т. 13, № 1. — С. 40—48. — https://doi.org/10.14357/19922264190106. Aleshkevitch V. A. Course in General Physics. Optics. — M. : Fizmatlit, 2011. — 320 p. — (In Russian). Афанасьев А. А., Рыболовлев А. А. и Рыжков А. П. Цифровая обработка сигналов. — М. : Горячая Линия-Телеком, 2019. — 356 с. Anikeyev D. A., Penkin G. O. and Strijov V. V. Local approximation models for human physical activity classification // Informatics and Applications. — 2019. — Vol. 13, no. 1. — P. 40–48. — https://doi.org/10.14357/19922264190106. — (In Russian). Гетманов В. Г. Цифровая обработка нестационарных колебательных сигналов на основе локальных и сплайновых моделей. — М. : НИЯУ МИФИ, 2011. — 298 с. Bioucas-Dias J., Katkovnik V., Astola J., et al. Absolute phase estimation: adaptive local denoising and global unwrapping // Applied Optics. — 2008. — Vol. 47, no. 29. — P. 5358–5369. — https://doi.org/10.1364/ao.47.005358. Гетманов В. Г. Локальные и сплайновые аппроксимации в цифровой обработке геомагнитных наблюдений // Чебышевский сборник. — 2019. — Т. 19, № 4. — С. 26—42. — https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-4-26-42. Fedorov E. N., Pilipenko V. A., Engebretson M. J., et al. Transmission of a Magnetospheric Pc1 Wave Beam Through the Ionosphere to the Ground // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2018. — Vol. 123, no. 5. — P. 3965–3982. — https://doi.org/10.1029/2018ja025338. Гетманов В. Г. Цифровая обработка сигналов с приложениями для геофизики и экспериментальной механике. — М. : Техносфера, 2021. — 356 с. Fung L., Bearon R. N. and Hwang Y. A local approximation model for macroscale transport of biased active Brownian particles in a flowing suspension // Journal of Fluid Mechanics. — 2022. — Vol. 935. — A24. — https://doi.org/10.1017/jfm.2022.10. Гетманов В. Г., Дабагян Р. А. и Сидоров Р. В. Исследование характеристик геомагнитных пульсаций методом локальных аппроксимаций // Геомагнетизм и аэрономия. — 2016. — Т. 56, № 2. — С. 209—216. — https://doi.org/10.7868/s001679401602005x. Getmanov V. G. Digital Processing of Non-Stationary Oscillatory Signals Based on Local and Spline Models. — M. : MEPhI, 2011. — 298 p. — (In Russian). Гетманов В. Г., Довбня Б. В. и Корнилов А. С. Оценка частотных и амплитудных параметров геомагнитных пульсаций типа «серпентинная эмиссия» // Геомагнетизм и аэрономия. — 2018. — Т. 58, № 4. — С. 540—550. — https://doi.org/10.1134/s0016794018040065. Getmanov V. G. Local and spline approximations in digital processing of geomagnetic observations // Chebyshevskii Sbornik. — 2019. — Vol. 19, no. 4. — P. 26–42. — https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-4-26-42. — (In Russian). Гетманов В. Г., Сидоров Р. В. и Дабагян Р. А. Метод фильтрации сигналов с использованием локальных моделей и функций взвешенного усреднения // Измерительная техника. — 2015. — № 9. — С. 52—57. Getmanov V. G. Digital Signal Processing With Applications for Geophysics and Experimental Mechanics. — M. : Tekhnosphera, 2021. — 356 p. — (In Russian). Грибанова М. С. и Скурихина Е. А. Прогноз параметров вращения Земли с использованием методов локальной аппроксимации // Труды ИПА РАН. — 2020. — № 54. — С. 11—20. — https://doi.org/10.32876/ApplAstron.54.11-20. Getmanov V. G., Dabagyan R. A. and Sidorov R. V. Studying geomagnetic pulsation characteristics with the local approximation method // Geomagnetism and Aeronomy. — 2016. — Vol. 56, no. 2. — P. 195–202. — https://doi.org/10.1134/s0016793216020055. Гульельми А. В. и Потапов А. С. Проблемы теории магнитосферных волн Pc1. Обзор // Солнечно-земная физика. — 2019. — Т. 5, № 3. — С. 102—109. — https://doi.org/10.12737/szf-53201910. Getmanov V. G., Dovbnya B. V. and Kornilov A. S. Estimating the Frequency and Amplitude Parameters of the Serpentine-Emission Type of Geomagnetic Pulsations // Geomagnetism and Aeronomy. — 2018. — Vol. 58, no. 4. — P. 523–532. — https://doi.org/10.1134/s0016793218040060. Гульельми А. В. и Троицкая В. А. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы. — М. : Наука, 1973. — 208 с. Getmanov V. G., Gvishiani A. D., Pilipenko V. A., et al. Estimation of Parameters of Non-stationary Geophysical Signals Based on Two-Stage Approximations Using Local Models // Russian Journal of Earth Sciences. — 2025. — Vol. 25. — ES2020. — https://doi.org/10.2205/2025es000979. Катковник В. Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных (метод локальной аппроксимации). — М. : Наука, 1985. — 336 с. Getmanov V. G., Sidorov R. V. and Dabagyan R. A. A Method of Filtering Signals Using Local Models and Weighted Averaging Functions // Measurement Techniques. — 2015. — Vol. 58, no. 9. — P. 1029–1036. — https://doi.org/10.1007/s11018-015-0837-5. Клейменова Н. Г. Геомагнитные пульсации // Модель космоса. Том 1. — М. : МГУ, 2007. — С. 611—626. Gribanova M. S. and Skurikhina E. A. Prediction of Earth Rotation Parameters Using Local Approximation Techniques // Transactions of IAA RAS. — 2020. — No. 54. — P. 11–20. — https://doi.org/10.32876/ApplAstron.54.11-20. — (In Russian). Михайлова О. С., Климушкин Д. Ю. и Магер П. Н. Современное состояние теории УНЧ-пульсаций диапазона Pc1 в плазме магнитосферы с тяжелыми ионами: Обзор // Солнечно-земная физика. — 2022. — Т. 8, № 1. — С. 3—18. — https://doi.org/10.12737/szf-81202201. Guglielmi A. V. and Potapov A. S. Problems of the Pc1 magnetospheric wave theory. A review // Solar-Terrestrial Physics. — 2019. — Vol. 5, no. 3. — P. 87–92. — https://doi.org/10.12737/stp-53201910. Позднякова Д. Д., Пилипенко В. А., Носэ М. и др. Спутниковые и наземные наблюдения Pc1-пульсаций во время магнитной бури в марте 2023 г. // Солнечно-земная физика. — 2025. — Т. 11, № 2. — С. 56—68. — https://doi.org/10.12737/szf-112202505. Guglielmi A. V. and Troitczkaya V. A. Geomagnetics Pulsations and Diagnosis of Magnetosphere. — M. : Nauka, 1973. — 208 p. — (In Russian). Bioucas-Dias J., Katkovnik V., Astola J., et al. Absolute phase estimation: adaptive local denoising and global unwrapping // Applied Optics. — 2008. — Vol. 47, no. 29. — P. 5358–5369. — https://doi.org/10.1364/ao.47.005358. Katkovnik V., Egiazarian K. and Astola J. Local Approximation Techniques in Signal and Image Processing. — SPIE, 2006. — 576 p. — https://doi.org/10.1117/3.660178. Fedorov E. N., Pilipenko V. A., Engebretson M. J., et al. Transmission of a Magnetospheric Pc1 Wave Beam Through the Ionosphere to the Ground // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2018. — Vol. 123, no. 5. — P. 3965–3982. — https://doi.org/10.1029/2018ja025338. Katkovnik V. Ya. Nonparametric Identification and Smoothing of Data (Local Approximation Method). — M. : Nauka, 1985. — 336 p. — (In Russian). Fung L., Bearon R. N. and Hwang Y. A local approximation model for macroscale transport of biased active Brownian particles in a flowing suspension // Journal of Fluid Mechanics. — 2022. — Vol. 935. — A24. — https://doi.org/10.1017/jfm.2022.10. Kleymenova N. G. Geomagnetics Pulsations // Model of space. Volume 1. — M. : MGU, 2007. — P. 611–626. — (In Russian). Getmanov V. G., Gvishiani A. D., Pilipenko V. A., et al. Estimation of Parameters of Non-stationary Geophysical Signals Based on Two-Stage Approximations Using Local Models // Russian Journal of Earth Sciences. — 2025. — Vol. 25. — ES2020. — https://doi.org/10.2205/2025es000979. Liu J., Shiokawa K., Oyama S.-I., et al. A Statistical Study of Longitudinal Extent of Pc1 Pulsations Using Seven PWING Ground Stations at Subauroral Latitudes // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2023. — Vol. 128, no. 1. — https://doi.org/10.1029/2021ja029987. Katkovnik V., Egiazarian K. and Astola J. Local Approximation Techniques in Signal and Image Processing. — SPIE, 2006. — 576 p. — https://doi.org/10.1117/3.660178. Makur A. A Study of Local Approximation in Information Theory. — Massachusetts Institute of Technology, 2015. — 171 p. Liu J., Shiokawa K., Oyama S.-I., et al. A Statistical Study of Longitudinal Extent of Pc1 Pulsations Using Seven PWING Ground Stations at Subauroral Latitudes // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2023. — Vol. 128, no. 1. — https://doi.org/10.1029/2021ja029987. Mallat S. A wavelet tour of signal processing. Second Edition. — Academic Press, 1999. — 671 p. Makur A. A Study of Local Approximation in Information Theory. — Massachusetts Institute of Technology, 2015. — 171 p. Matsuda S., Miyoshi Y., Kasahava Y., et al. Multipoint Measurement of Fine-Structured EMIC Waves by Arase, Van Allen Probe A, and Ground Stations // Geophysical Research Letters. — 2021. — Vol. 48, no. 23. — https://doi.org/10.1029/2021gl096488. Mallat S. A wavelet tour of signal processing. Second Edition. — Academic Press, 1999. — 671 p. Mikhailova O. S., Klimushkin D. Yu. and Mager P. N. The current state of the theory of Pc1 range ULF pulsations in magnetospheric plasma with heavy ions: A review // Solnechno-Zemnaya Fizika. — 2022. — Vol. 8, no. 1. — P. 3–18. — https://doi.org/10.12737/szf-81202201. — (In Russian). Matsuda S., Miyoshi Y., Kasahava Y., et al. Multipoint Measurement of Fine-Structured EMIC Waves by Arase, Van Allen Probe A, and Ground Stations // Geophysical Research Letters. — 2021. — Vol. 48, no. 23. — https://doi.org/10.1029/2021gl096488. Nie Y., Wang Y., Sun W., et al. The Local Approximation Method for Structural Optimization // Applied Mechanics and Materials. — 2014. — Vol. 575. — P. 854–858. — https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amm.575.854. Nie Y., Wang Y., Sun W., et al. The Local Approximation Method for Structural Optimization // Applied Mechanics and Materials. — 2014. — Vol. 575. — P. 854–858. — https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amm.575.854. Pozdnyakova D. D., Pilipenko V. A., Nose M., et al. Satellite and ground-based observations of Pc1 pulsations during a magnetic storm in March 2023 // Solnechno-Zemnaya Fizika. — 2025. — Vol. 11, no. 2. — P. 56–68. — https://doi.org/10.12737/szf-112202505. — (In Russian). Savelyev I. V. Physics A General Course. Volume 1. Mechanics, Molecular Physics. — M. : Mir, 1979. — 439 p. Savelyev I. V. Physics A General Course. Volume 1. Mechanics, Molecular Physics. — M. : Mir, 1979. — 439 p. Time-Frequency Analysis / ed. by F. Hlawatsch and F. Auger. — London UK, Hoboken USA : John Wiley & Sons, 2013. — 472 p. Time-Frequency Analysis / ed. by F. Hlawatsch and F. Auger. — London UK, Hoboken USA : John Wiley & Sons, 2013. — 472 p. Yin Z.-F., Zhou X.-Z., Hu Z.-J., et al. Westward Excursion of Pc1/EMIC Waves and Their Source Protons: Paradoxical Observations From Ground and Space // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2024. — Vol. 129, no. 5. — https://doi.org/10.1029/2023ja032317. Yin Z.-F., Zhou X.-Z., Hu Z.-J., et al. Westward Excursion of Pc1/EMIC Waves and Their Source Protons: Paradoxical Observations From Ground and Space // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2024. — Vol. 129, no. 5. — https://doi.org/10.1029/2023ja032317.